巧构等腰三角形解决矩形中的翻折问题

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方法概述

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如下图所示，是矩形的背景下的翻折问题，对于此类问题的解决，往往通过寻找直角三角形，利用勾股定理求解。(具体解法可以点击下方图片跳转)

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除了上述利用勾股定理的方法外，还可以通过寻找(构造)等腰三角形的方式，寻找相等的线段，再借助勾股定理，达到简化计算的目的。其原理就是：翻折(角平分线)+矩形(平行)，必有等腰三角形。

如图下图所示，是一道典型的利用图中等腰三角形，达到相等线段转化，继而利用直角三角形，借助勾股定理解决的一道典型例题。

根据翻折，可得AD=DE=4，在Rt△DEC中，利用勾股定理，即可求出CE的长，从而求出BE的长。

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变式问题1:点在线段及其延长线上的分类讨论

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解法分析：本题是矩形背景下的翻折问题。本题的注意点在与点P是射线BC上的动点，因此需要对点P的位置分类讨论。

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根据题意，画出图形后，通过观察，可得不论点P在线段或其延长线上，此时△AMP始终为等腰三角形，由于图中没有“现成”的直角三角形，因此需要过点M作BC的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出相应线段的长度，继而求出BP的长。

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解法分析：本题是正方形背景下的翻折问题。同变式1相仿，需要根据点E的位置进行分类讨论，画出符合题意的图形。

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如上图，就是点E在线段BC或其延长线的两种情况。

由于本题是求∠DAB1的正弦值，因此需要构造直角三角形。当点E在线段BC上时，延长AB1交CD于点G；当点E在BC延长线上时，延长AD交B1E于点H。此时可以发现△AGF和△AHE都是等腰三角形。通过利用图中的A/X型基本图形，求出CF的长度。再分别在Rt△ADG和Rt△AB1H中利用勾股定理即可求出DG和B1H的长度，从而求得正弦值。

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变式2：通过延长构造等腰三角形

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解法分析：本题是正方形背景下的翻折问题。与变式1和变式2不同，变式3种没有“现成”的等腰三角形，此时需要联想构造等腰三角形。观察到BE是∠ABF的角平分线，因此可以联想延长BE、BF构造等腰三角形。本题是要求CG的长度，因此在延长BF交CD于P后，恰好构造了一个CP-AB-X型，只需要求出CP的长度，即可求出CG:AG，从而求出CG的长度。

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本题除了上述构造等腰三角形的方法外，还可以通过构造一线三直角、倍角等方法，具体的方法可以点击“变式3”的图片跳转。

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解法分析：本题是矩形背景下的翻折问题。和变式3的解题思路如出一辙，通过延长AE、BC交于点P后，构造等腰三角形，再在Rt△ABG中利用勾股定理，即可求出CG的长度。

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